Question

已知某射擊隊(duì)員每次射擊擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)都在6環(huán)以上（含6環(huán)），據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制得到的頻率分布條形圖如圖所示，其中a，b，c依次構(gòu)成公差為0.1的等差數(shù)列，若視頻率為概率，且該隊(duì)員每次射擊相互獨(dú)立，試解答下列問題：
（Ⅰ）求a，b，c的值，并求該隊(duì)員射擊一次，擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）若該射擊隊(duì)員在10次的射擊中，擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)為k的概率為P（X=k），試探究：當(dāng)k為何值時(shí)，P（X=k）取得最大值？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,收集數(shù)據(jù)的方法

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）依題意，得a=0.1，b=0.2，c=0.3，由此能示出該隊(duì)員射擊一次，擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
（Ⅱ）由已知條件得該射擊隊(duì)員在10射擊中，擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)為k的概率P（X=k）=

C

k 10

×0．4k×0．610-k，k=0，1，2，…，10），

P(X=k)

P(X=k-1)

=

C k 10 ×0．4k×0．610-k

C k-1 10 ×0．4k-1×0．610-k+1

=

2(11-k)

3k

，由此能求出當(dāng)k=4時(shí)，P（X=k）取得最大值．

解答： 解：（1）依題意，得a+b+c=0.6，
即a+a+0.1+a+0.2=0.6，解得a=0.1，
∴b=0.2，c=0.3，
∴該隊(duì)員射擊一次擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)ξ的分布列為：

ξ	6	7	8	9	10
P	0.1	0.2	0.3	0.36	0.04

Eξ=6×0.1+7×0.2+8×0.3+9×0.36+10×0.04=8.04．
（Ⅱ）記事件A：“該隊(duì)員進(jìn)行一次射擊，擊中9環(huán)”，
事件B：“該隊(duì)員進(jìn)行一次射擊，擊中10環(huán)”，
則事件“該隊(duì)員進(jìn)行一次射擊，擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）”為A+B，
∵A，B互斥，且P（A）=0.36，P（B）=0.04，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4，
∴該射擊隊(duì)員在10射擊中，擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)為k的概率：
P（X=k）=

C

k 10

×0．4k×0．610-k，k=0，1，2，…，10），
當(dāng)k≥1時(shí)，k∈N^*時(shí)，

P(X=k)

P(X=k-1)

=

C k 10 ×0．4k×0．610-k

C k-1 10 ×0．4k-1×0．610-k+1

=

2(11-k)

3k

，
令

P(X=k)

P(X=k-1)

＞1，解得k＜

22

5

，
∴1≤k≤4時(shí)，P（X=k-1）＜P（X=k），
5≤k≤10時(shí)，P（X=＞P（X=k）．
綜上，當(dāng)k=4時(shí)，P（X=k）取得最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．