Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，且，

⊙與該橢圓有且只有一個公共點.

（1）求橢圓標準方程；

（2）過點的直線與⊙相切，且與橢圓相交于兩點，求證：；

（3）過點的直線與⊙相切，且與橢圓相交于兩點，試探究的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】分析：（1）直接根據已知條件得到a,b,c的方程組，解之即得橢圓標準方程.(2)先聯立直線的方程和橢圓方程得到韋達定理，再證明即證.(3) 猜想再證明.

詳解：（1）⊙與橢圓有且只有一個公共點，公共點為或，

若公共點為時，則，又，

解得，與矛盾，故公共點為.

，又.

反之，當時，聯立解得滿足條件.

橢圓標準方程為.

（2），設過的直線，聯立，得.

設，則，又，

.

由與⊙相切得

，即.

（3）猜：.證明如下：由（2）得.

.