Question

【題目】所謂正三棱錐，指的是底面為正三角形，頂點在底面上的射影為底面三角形中心的三棱錐，在正三棱錐S﹣ABC中，M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB=2 ，則正三棱錐S﹣ABC的體積為 ， 其外接球的表面積為 ．

Answer 1

【答案】；12π
【解析】解：設O為S在底面ABC的投影，則O為等邊三角形ABC的中心，
∵SO⊥平面ABC，AC平面ABC，
∴AC⊥SO，又BO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，∵SB平面SBO，
∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM平面SAC，AC平面SAC，AM∩AC=A，
∴SB⊥平面SAC，
同理可證SC⊥平面SAB．
∴SA，SB，SC兩兩垂直．
∵△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴SA=SB=SC，
∵AB=2 ，∴SA=SB=SC=2．
∴三棱錐的體積V= = ．
設外接球球心為N，則N在SO上．
∵BO= = ．∴SO= = ，
設外接球半徑為r，則NO=SO﹣r= ﹣r，NB=r，
∵OB2+ON2=NB2 ， ∴ +（ ）2=r2 ， 解得r= ．
∴外接球的表面積S=4π×3=12π．
所以答案是： ，12π．