Question

現有數列{a_n}滿足：a₁=1，且對任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，則

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2014

=
（　�。�

• A、

  2014

  2015

• B、

  2012

  1007

• C、

  2013

  2014

• D、

  4028

  2015

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：令m=1，得a_n+1-a_n=1+n，由此利用累加法求出a_n=

n(n+1)

2

．從而得到

1

an

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項求和法能求出

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2014

．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足：a₁=1，
且對任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，
∴令m=1，得a_n+1=a_n+a₁+n，
∴a_n+1-a_n=1+n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2014

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2014

-

1

2015

）=2（1-

1

2015

）=

4028

2015

．
故選：D．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．