Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）過橢圓右焦點作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點，F₁是橢圓的左焦點，求三角形AF₁B的周長；
（2）已知點P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上一點，且以點P及焦點F₁、F₂為頂點的三角形的面積等于1，求點P坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題

分析：（1）根據橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，并且|AF₂|+|BF₂|=|AB|，進而得到答案；
（2）根據已知中，點P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一點，以點P以及焦點F₁，F₂為頂點的三角形的面積等于1，根據該三角形的底邊|F₁F₂|=2，我們易求出P點的橫坐標，進而求出P點的縱坐標，即可得到答案．

解答： 解：（1）根據題意結合橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=2a=4，并且|BF₁|+|BF₂|=2a=，4，
又因為|AF₂|+|BF₂|=|AB|，
所以△AF₁B的周長為：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=8；
（2）因為是橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1，故|F₁F₂|=2
設P點坐標為（x，y）
∵P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一點，由以點P以及焦點F₁，F₂為頂點的三角形的面積等于1，
則y=±1，x=±

2 6

3

．
故點P的坐標為(±

2 6

3

，±1)．

點評：本題主要考查了橢圓的定義的應用，其中判斷出以點P以及焦點F₁，F₂為頂點的三角形的底邊|F₁F₂|=2，是解答本題的關鍵．