Question

已知離心率為的橢圓過點，為坐標原點，平行于的直線交橢圓于不同的兩點。

（1）求橢圓的方程。
（2）證明：若直線的斜率分別為、，求證：+=0。

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析。

試題分析：(1)由于先由橢圓C的離心率和橢圓過點M（2，1），列出方程組，再由方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程
（2）聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理得到根與系數的關系，那么再結合斜率公式得到證明。
解：（Ⅰ）設橢圓的方程為:．
由題意得: ∴ 橢圓方程為．
（Ⅱ）由直線,可設，將式子代入橢圓得:
設,則
設直線、的斜率分別為、，則 
下面只需證明：，事實上，

。
點評：解決該試題的關鍵是能利用橢圓的性質得到a,b,c,的值，進而得到橢圓方程，同時能利用韋達定理得到斜率的關系式。