Question

（本小題滿分12分）設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2.
（Ⅰ）求此雙曲線的漸近線的方程；
（Ⅱ）若、分別為上的點，且，求線段的中點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；

Answer 1

（Ⅰ），漸近線方程為；（Ⅱ）
則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓。

試題分析：（Ⅰ）利用離心率為2，結合c²=a²+3，可求a，c的值，從而可求雙曲線方程，即可求得漸近線方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根據A、B分別為l₁、l₂上的點，化簡可得軌跡方程及對應的曲線．
解：（Ⅰ）

，漸近線方程為
（Ⅱ）設，AB的中點


則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓。
點評：解決該試題的關鍵是能理解雙曲線的性質熟練的得到a,b,的值，注意焦點位置對于漸近線的影響。同時能利用坐標關系式得到軌跡方程。