Question

已知A、B、C是橢圓上的三點，其中點A的坐標為，BC過橢圓m的中心，且

（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點P，Q，
設D為橢圓m與y軸負半軸的交點，且，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）t∈（－2，4）

本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將 轉化為k_DN•k=-1進行求解.
(1)根據橢圓的性質和向量的數量積為零得到a,b的值，得到橢圓的方程。
(2)設出直線與橢圓聯立方程組，然后結合根與系數的關系，和向量的等式得到參數的關系式，進而利用判別式得到范圍。
解（1）∵過（0，0）
則
∴∠OCA=90°， 即 又∵
將C點坐標代入得 
解得  c²=8，b²=4
∴橢圓m： 
（2）由條件D（0，－2） ∵M（0，t）
1°當k=0時，顯然－2<t<2 
2°當k≠0時，設
  消y得
由△>0 可得    ①
設
則    
∴  
由 
∴  ②
∴t>1 將①代入②得   1<t<4
∴t的范圍是（1，4）
綜上t∈（－2，4）