Question

【題目】已知數列各項均為正數，其前項和為，且， .

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求數列的前項和.

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】試題分析：（1）由當時，， ，兩式相減可得，由此可得數列是公差為 的等差數列，從而能求出；（2）由，利用錯位相減法能求出數列的前項和.

試題解析：（Ⅰ）∵數列各項均為正數，其前項和為，且， .，

∴當時， ，解得，

當時， ，

∵，∴，

∴， ，…， ，…，是以1為首項，2為公差的等差數列， ，

， ，…， ，…，是以2為首項，2為公差的等差數， ，∴， .

（Ⅱ）∵， ，

∴數列的前項和：

，①

，②.

②-①，得：

.

【易錯點晴】本題主要考查遞推公式、等差數列的通項公式、“錯位相減法”求數列的和，屬于難題. “錯位相減法”求數列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項 的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.