Question

已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）及兩個(gè)定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為K₁，K₂且K₁K₂=－
(1).求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程；
(2).設(shè)直線(xiàn)L：y=kx+m與曲線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)，M，N，當(dāng)OM⊥ON時(shí)，求O點(diǎn)到直線(xiàn)L的距離（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查橢圓的方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、向量的運(yùn)算、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力以及利用解析法、函數(shù)與方程思想的解題能力.第一問(wèn)，利用P、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出代入到中整理出x，y的關(guān)系，即點(diǎn)P的軌跡方程；第二問(wèn)，設(shè)出M、N坐標(biāo)，令直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，由于交于M、N兩個(gè)點(diǎn)，所以，利用韋達(dá)定理，得，，由，利用向量的垂直的充要條件得到的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，利用上述的關(guān)系式得到數(shù)值.
試題解析：（1）設(shè)，由已知得，
整理得，即   4分
（2）設(shè)M
消去得：
由得
   8分
∵∴
即
∴
∴滿(mǎn)足   10分
∴點(diǎn)到的距離為即
∴   12分