Question

已知橢圓()的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．過點(diǎn)M（2,0）的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，證明：直線恒過一定點(diǎn).

Answer 1

（1）.（2）.（3）直線過定點(diǎn).

試題分析：（1）由已知得,得.
（2）設(shè)：，與橢圓的方程聯(lián)立,消去得
.由△＞0得.
設(shè),則.
將
表示成為
由，求得范圍是.
（3）由對(duì)稱性可知N，定點(diǎn)在軸上.
在直線方程AN：中，令得:
,得證.
試題解析：（1）易知，得,故.
故方程為.（3分）
（2）設(shè)：，與橢圓的方程聯(lián)立,消去得
.由△＞0得.
設(shè),則.
∴
=
，∴，
故所求范圍是.（8分）
（3）由對(duì)稱性可知N，定點(diǎn)在軸上.
直線AN：，令得:
,
∴直線過定點(diǎn).（13分）