Question

已知橢圓＋y²＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點．
(1)當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標；
(2)當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）

(1)直線AM的斜率為1時，直線AM為y＝x＋2，代入橢圓方程并化簡得5x²＋16x＋12＝0，解之得x₁＝－2，x₂＝－，∴點M的坐標為.
(2)設直線AM的斜率為k，則AM為y＝k(x＋2)，
則化簡得(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0.
∵此方程有一根為－2，∴x_M＝，同理可得x_N＝
由(1)知若存在定點，則此點必為P.
∵k_MP＝，
同理可計算得k_PN＝.∴直線MN過x軸上的一定點P