Question

關于函數f(x)=2x-

1

2x

(x∈R)．有下列三個結論：①f（x）的值域為R；②f（x）是R上的增函數；③f（x）的圖象是中心對稱圖形，其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：先判定函數的單調性，利用增函數與減函數作差為增函數進行判定②的真假，然后根據單調性求函數的值域可判定①的真假，③是考查函數的奇偶性的，要判斷是否關于原點對稱，須看是否為奇函數，須用定義．

解答：解：因為y=2^x在R上是增函數，且y=2^-x在R上是減函數，所以f（x）=2^x-2^-x在R上是增函數，所以②對，
f（x）=2^x-2^-x在R上是增函數當x→-∞則y→-∞，當x→+∞則y→+∞，則f（x）的值域為R，所以①對
因為f（x）=2^x-2^-x，故f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），則f（x）為奇函數，f（x）的圖象是中心對稱圖形，所以③對，
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查了指數函數的單調性與特殊點，以及指數函數的圖象與性質，屬于基礎題．