Question

已知函數f(x)=

2，x＞k x2+4x+2，x≤k

，若關于x的方程f（x）=x恰有三個不同的實根，則k的取值范圍為（　　）

A．[2，+∞）

B．（-∞，-1]

C．[-1，2]

D．[-1，2）

Answer 1

分析：由題意可得函數f（x）的圖象和直線y=x應有3個不同的交點．如圖所示：當k=-1時，函數f（x）的圖象和直線y=x有3個不同的交點，滿足條件；當k＜-1
或k≥2時，函數f（x）的圖象和直線y=x有2個不同的交點，不滿足條件；綜合可得結論．

解答：解：由于直線y=x和拋物線y=x²+4x+2相較于兩個點A（-2，-2）、B（-1，-1），
由題意可得函數f（x）的圖象和直線y=x應有3個不同的交點，故直線y=x和射線y=2（x＞k）有一個交點．
當k=-1時，數形結合可得函數f（x）的圖象和直線y=x有3個不同的交點A、B、C，故k=1滿足條件；
當k＜-1時，函數f（x）的圖象和直線y=x有2個不同的交點，不滿足條件．
當k=2時，數形結合可得函數f（x）的圖象和直線y=x有2個不同的交點A、B，故k=2不滿足條件．
當k＞2時，函數f（x）的圖象和直線y=x有2個不同的交點A、B，不滿足條件．
數形結合可得，當-1≤k＜2時，函數f（x）的圖象和直線y=x有3個不同的交點，滿足條件，
故選D．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，體現了轉化以及數形結合的數學思想，屬于中檔題．