Question

關于函數f(x)=2|x+

1

x

|，下列命題判斷錯誤的是（　　）

A．圖象關于原點成中心對稱

B．值域為[4，+∞）

C．在（-∞，-1]上是減函數

D．在（0，1]上是減函數

Answer 1

分析：A．計算出f（-x），比較與f（x）的關系從而確定函數的奇偶性．B．求出函數|x+

1

x

|的最小值，利用復合函數的單調性求y的取值范圍．C．利用復合函數的單調性，先判斷函數|x+

1

x

|的單調性．然后再判斷復合函數的單調性．D．先判斷函數|x+

1

x

|的單調性．然后再判斷復合函數的單調性．

解答：解：A．因為f(-x)=2|-x-

1

x

|=2|x+

1

x

|=f(x)為偶函數，所以圖象關于y軸對稱，所以A錯誤．
B．因為|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

≥2，所以f(x)=2|x+

1

x

|=2|x|+

1

|x|

≥22=4，所以函數的值域為[4，+∞），所以B正確．
C．因為函數|x+

1

x

|在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，所以函數f(x)=2|x+

1

x

|在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，因為函數f(x)=2|x+

1

x

|是偶函數，所以在對稱區間（-∞，-1]上是減函數，所以C正確．
D．因為函數|x+

1

x

|在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，所以函數f(x)=2|x+

1

x

|在（0，1）上為減函數，所以D正確．
故選A．

點評：本題考查與指數函數有關的復合函數的性質．考查函數的奇偶性，單調性與值域的求法和判斷．正確理解復合函數之間的關系是解決復合函數性質的關鍵．