Question

【題目】已知曲線，為曲線上一動點，過作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和.

（1）當運動到時，求的值；

（2）設直線（不與軸垂直）與曲線交于、兩點，與軸正半軸交于點，與軸交于點，若，，且，求證為定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；

【解析】

（1）確定兩條漸近線方程，求出點到兩條漸近線的距離，再計算與夾角的余弦值，應用向量的數量積公式，即可求得結論.

（2）設而不解，聯立直線與雙曲線方程得到根與系數的關系，再利用向量式，，將表示出來，代入化簡即可證得為定點.

解：（1）由曲線，得漸近線方程為，作示意圖如圖所示：

設，，則

則 ，

又 ，

.

（2）設，，，設直線的斜率為，

則，又，得

得，

由，則，即，

得 ，又，同理，

則

得，則，

得，又，得，即為定點.