Question

【題目】設函數.

（1）當時，若在上是單調函數，求實數的取值范圍；

（2）若在，處取得極值，且方程在上有唯一解時，的取值范圍為或，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2).

【解析】

(1)當時,函數,其導函數為通過若在上是單調函數,對的討論,即可求得實數的取值范圍;

(2)先求出導函數 ,由在處取得極值，可得.代入解得,此時導函數可化為由,可知的單調性可判斷是在上的極小值,是在上的極大值,要使方程在上有唯一解時，的取值范圍為或只有可能,即求的最大值只需求的最大值即可.由. 令,可知,則有構造,利用導數研究其最值即可.

(1)當時,函數,其導函數為

當時,，因為所以,所以在上單調遞增；

當時,，,則在上單調遞增.

當時，設,其對稱軸為,若在上是單調函數，只能使恒成立,則需滿足解得，此時在上單調遞減.

綜上得的取值范圍是

(2) .

在處取得極值，.

即,解得

所以可得令，解得，令，解得或.

所以在上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減.

所以是在上的極小值,是在上的極大值.

若使方程只有唯一解的的取值范圍為或,結合函數單調性可得只有可能,所以求的最大值只需求的最大值即可.

又.

所以.

記則,則.

令，其導函數為

當時,,故單調遞增；當時,,故單調遞減.

所以的最大值為.所以的最大值為.