Question

已知遞增等差數列滿足：，且成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數的最小值，并證明．

Answer 1

（1）．  （2）的最小值為． 

本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為，
由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。
解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，
解得或（舍去）．     …………3分
所以，．       …………6分
（2）不等式等價于，
當時，；當時，；
而，所以猜想，的最小值為．    …………8分
下證不等式對任意恒成立．
方法一：數學歸納法．
當時，，成立．
假設當時，不等式成立，
當時，， …………10分
只要證 ，只要證 ，
只要證 ，只要證 ，
只要證 ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調性證明．
要證 
只要證 ，  
設數列的通項公式，       …………10分
，   …………12分
所以對，都有，可知數列為單調遞減數列．
而，所以恒成立，
故的最小值為．