Question

【題目】已知函數，函數的圖象經過，其導函數的圖象是斜率為，過定點的一條直線.

（1）討論的單調性；

（2）當時，不等式恒成立，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上為減函數；

當時，在上為減函數，在上為增函數.

（2）2

【解析】

對求導，得到，按和進行分類討論，利用導函數的正負，得到的單調性；（2）根據題意先得到，然后得到的解析式，設，按和分別討論，利用得到的單調性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于時，整數的最小值.

（1）函數的定義域是，，

當時，，所以在上為減函數，

當時，令，則，

當時，，為減函數，

當時，，為增函數，

綜上，當時，在上為減函數；

當時，在上為減函數，在上為增函數.

（2）根據題意，，

設，代入，可得，

令，

所以.

當時，因為，所以.

所以在上是單調遞增函數，

又因為，

所以關于x的不等式不能恒成立.

當時，，

令，得.

所以當時，；

當時，，

因此函數在上是增函數，在上是減函數.

故函數的最大值為.

令，因為，

又因為在上是減函數.

所以當時，.

所以整數的最小值為.