Question

【題目】對于定義在上的函數，若函數滿足：

①在區間上單調遞減，②存在常數p，使其值域為，則稱函數是函數的“逼進函數”．

（1）判斷函數是不是函數的“逼進函數”；

（2）求證：函數不是函數，的“逼進函數”

（3）若是函數的“逼進函數”，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）2.

【解析】

（1）由f（x）﹣g（x），化簡整理，結合反比例函數的單調性和值域，即可判斷；

（2）由指數函數和一次函數的單調性，可得滿足①，說明不滿足②，即可得證；

（3）由新定義，可得y＝xax為[0，+∞）的減函數，求得導數，由不等式恒成立思想，可得a的范圍；再由值域為（0，1]，結合不等式恒成立思想可得a的范圍，即可得到a的值．

（1） ，

可得在[0，+∞）遞減，且，

，可得存在，函數y的值域為，

則函數是函數，的“逼進函數”；

（2）證明：，

由，在[0，+∞）遞減，

則函數在[0，+∞）遞減，

則函數在[0，+∞）的最大值為1；

由時，，時，，

則函數在[0，+∞）的值域為（-∞，1]，

即有函數不是函數，x∈[0，+∞）的“逼進函數”；

（3）是函數，的“逼進函數”，

可得為[0，+∞）的減函數，

可得導數在[0，+∞）恒成立，

可得，

由x＞0時，，

則，即；

又在[0，+∞）的值域為（0，1]，

則，

x=0時，顯然成立；

x＞0時，，

可得，即．

則a=2．