Question

【題目】對于，若數列滿足，則稱這個數列為“K數列”．

（Ⅰ）已知數列：1，m+1，m2是“K數列”，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在首項為-1的等差數列為“K數列”，且其前n項和滿足

？若存在，求出的通項公式；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）已知各項均為正整數的等比數列是“K數列”，數列不是“K數列”，若，試判斷數列是否為“K數列”，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得和，即可求解實數的取值范圍；

（Ⅱ）設公差為，則，得對均成立，即，即可得到結論；

（Ⅲ）設數列的公比為，因為的每一項均為正整數，且，得到，且，得到“”和“”為最小項，又由又因為不是“K數列”， 且“”為最小項，得出，所以或，分類討論即可得到結論.

試題解析：（Ⅰ）由題意得，

，②

解①得 ；

解②得 或

所以，故實數的取值范圍是．

（Ⅱ）假設存在等差數列符合要求，設公差為，則，

由 ，得 ，

由題意，得對均成立，

即．

當時，;

當時，，

因為，

所以，與矛盾，

故這樣的等差數列不存在．

（Ⅲ）設數列的公比為，則，

因為的每一項均為正整數，且，

所以，且.

因為，

所以在中，“”為最小項．

同理，在中，“”為最小項．

由為“K數列”，只需， 即 ，

又因為不是“K數列”， 且“”為最小項，所以， 即 ，

由數列的每一項均為正整數，可得 ，

所以或.

當時，， 則，

令，則，

又 ，

所以為遞增數列，即 ，

所以．

因為，

所以對任意的，都有，

即數列為“K數列”．

當時，，則．因為，

所以數列不是“K數列”．

綜上：當時，數列為“K數列”，

當時，數列不是“K數列” ．