Question

【題目】一個多面體的直觀圖（圖1）及三視圖（圖2）如圖所示，其中M，N分別是AF，BC的中點

（1）求證：MN∥平面CDEF：
（2）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；

Answer 1

【答案】
（1）證明：由三視圖知，

該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，

且AB=BC=BF=4，DE=CF= ，∠CBF=90°，

連結BE，M在BE上，連結CE

EM=BM，CN=BN，所以MN∥CE，CE面CDEF，

所以MN∥平面CDEF．

（2）解法一：作BQ⊥CF于Q，連結AQ，

面BFC⊥面ABFE，面ABFE∩面BFC=BF，

AB面ABFE，AB⊥BF，

∴AB⊥面BCF，

CF面BCF，∴AB⊥CF，BQ⊥CF，AB∩BQ=B，

∴CF⊥面ABQ，AQ面ABQ，

AQ⊥CF，∴∠AQB為所求的二面角的平面角，

在Rt△ABQ中，tan∠AQB= = = ，

∴cos ，

∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值為 ．

解法二：以EA，AB，AD所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標系，

A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），F（﹣4，4，0），

面CBF法向量為 ，

，

設面ACF法向量為 ，

取z=﹣1，所以

設二面角為θ，

，

∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF= ，∠CBF=90°，由此能證明MN∥平面CDEF．（Ⅱ）（法一）作BQ⊥CF于Q，連結AQ，由已知得AB⊥面BCF，AB⊥CF，BQ⊥CF，∠AQB為所求的二面角的平面角，由此能求出二面角A﹣CF﹣B的余弦值．（Ⅱ）（法二）：以EA，AB，AD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CF﹣B的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．