Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，AE=AF=4，現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2 ．

（1）求五棱錐A′﹣BCDFE的體積；
（2）求平面A′EF與平面A′BC的夾角．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AC，設(shè)AC∩EF=H，

由ABCD是正方形，AE=AF=4，

得H是EF的中點，

且EF⊥AH，EF⊥CH，

從而有A′H⊥EF，CH⊥EF，

∴EF⊥平面A′HC，

從而平面A′HC⊥平面ABCD，

過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O，

則A′O⊥平面ABCD．

∵正方形ABCD的邊長為6，AE=AF=4，

得到： ，CH=4 ，

∴cos∠A′HC= = ，

∴HO= ， ，

∴五棱錐A′﹣BCDFE的體積V= =

（2）解：由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3 ，即點O是AC，BD的交點，

如圖以點O為原點，OA，OB，OA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標系，

則由題意知 ，B（0，3 ，0），C（﹣3 ，0，0），D（0，﹣3 ，0），

E（ ，2 ，0），F(xiàn)（ ，﹣2 ，0）， ，

∴ ， ， ， ，

設(shè)平面A′EF的法向量為 =（x，y，z），

則 ，

取x= ，得 ，

設(shè)平面A′BC的法向量 ，

則 ，

令y1=1，得 =（﹣1，1， ），

∴cos＜ ＞=0，即平面A′EF與平面A′BC夾角是

【解析】（1）連接AC，設(shè)AC∩EF=H，由已知條件推導(dǎo)出平面A′HC⊥平面ABCD，過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O，則A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱錐A′﹣BCDFE的體積．（2）由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3 ，即點O是AC，BD的交點，以點O為原點，OA，OB，OA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面A′EF與平面A′BC夾角．