Question

【題目】對任意，都存在，使得，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍是______

Answer 1

【答案】

【解析】

令，根據函數單調性可得f（x）∈[﹣1，e2]，然后令g（x）＝ax﹣ex，由x1≠x2，g（x1）＝g（x2），可知y＝mlnm﹣m與y＝g（x）的圖象有2個交點，結合函數單調性即可求解．

令，則，

當時，f′（x）＝lnx＜0，∴f（x）單調遞減，

當1＜x＜e2，f′（x）＝lnx＞0，∴f（x）單調遞增，

∵，故函數f（x）的值域為.

令g（x）＝ax﹣ex，則g′（x）＝a﹣ex，且x1≠x2，g（x1）＝g（x2），

①當a≤0時，g′（x）＝a﹣ex＜0恒成立，∴g（x）在R上單調遞減，

與x1≠x2，g（x1）＝g（x2），矛盾

②當a＞0時，當x＞lna時，g′（x）＝a﹣ex＜0，∴函數g（x）單調遞減，

當x＜lna時，g′（x）＝a﹣ex＞0，∴函數g（x）單調遞增，

∵當x→﹣∞時，g（x）→﹣∞，當x→+∞時，g（x）→﹣∞且

g（x）max＝g（lna）＝alna﹣a，

∴當x1≠x2時，若g（x1）＝g（x2）＝mlnm﹣m，

則y＝mlnm與y＝g（x）有2個不同的交點，

∴alna﹣a＞e2＝e2lne2﹣e2，又a＞0

由f(x)的單調性可得a＞e2，

∴實數a的取值范圍為：（e2，+∞）．

故答案為：（e2，+∞）