Question

【題目】如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內切，與圓外切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）過直線上的點作圓的兩條切線，設切點分別是，，若直線與軌跡交于，兩點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）設動圓的半徑為，由題動圓與圓內切，與圓外切，則

，由此即可得到動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，進而得到動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設直線上任意一點的坐標是，切點坐標分別是，

；則經過點的切線斜方程是，同理經過點的切線方程是，又兩條切線，相交于 .可得經過兩點的直線的方程是，對分類討論分別求出的值，即可得到的最小值.

（Ⅰ）設動圓的半徑為，∵動圓與圓內切，與圓外切，

∴，且.于是，，

所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.從而，，

所以.故動圓圓心的軌跡的方程為．

（Ⅱ）設直線上任意一點的坐標是，切點坐標分別是，

；則經過點的切線斜率，方程是，

經過點的切線方程是，又兩條切線，相交于 .

則有，所以經過兩點的直線的方程是，

①當時，有，，，，則；

②當時，聯立，整理得；

設坐標分別為，，則，

所以，

綜上所述，當時，有最小值．