Question

【題目】集合，，.若集合中的所有元素都能用中不超過9個(gè)的不同元素相加表示，求，并構(gòu)造達(dá)到最小時(shí)對(duì)應(yīng)的一個(gè)集合.

Answer 1

【答案】，為滿足條件的集合.

【解析】

設(shè).

依題意應(yīng)有.

注意到，，

，

.

故.

下面證明：

滿足條件.

1.首先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的，可以表示成中至多個(gè)不同元素之和.

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，由二進(jìn)制知識(shí)知

.

其中，或1，不全為1，.

即可表示成中至多4個(gè)不同元素之和.

假設(shè)時(shí)，命題成立.

當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)易知，當(dāng)時(shí)命題成立；當(dāng)時(shí)，.

由歸納假設(shè)，可以表示成中至多個(gè)不同元素之和，故可以表示成中至多個(gè)不同元素之和.

2.對(duì)，取，使得.

若，則，矛盾.

若，則，同1知可表示成中至多3個(gè)不同元素之和.故可表示成中至多9個(gè)不同元素之和.

若則，由1知可表示成中至多個(gè)不同元素之和.故可表示成中至多個(gè)不同元素之和.

3.對(duì)，則.

取，使得，從而，.

由1知可表示成中至多個(gè)不同元素之和.

故可表成中至多個(gè)不同元素之和.

綜上，，為滿足條件的集合.