Question

【題目】已知函數．

(1)判斷的單調性；

(2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，試證明a<1．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（2）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間即可；

（2）問題轉化為﹣2lnx00，令g（x0）＝﹣2lnx0，根據函數的單調性證明即可．

（1）函數的定義域是（0，+∞），

f′（x）x﹣a，

易知x2﹣ax﹣2＝0有兩根，x10，x2，

故f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；

（2）∵a＜0，∴1，

∴f′（x）在（1，+∞）上有唯一零點x0，

又f′（x）x﹣a，∴x0﹣a＝0①，

要使f（x）≥0在區間（1，+∞）恒成立，且f（x）＝0有唯一解，

須f（x0）＝0，即﹣2lnx0（1）﹣ax0＝0②，

由①②得：

﹣2lnx0（1）﹣x0（x0）＝0，

故﹣2lnx00，

令g（x0）＝﹣2lnx0，

顯然g（x0）在（1，+∞）遞減，

∵g（1）＝2＞0，g（2）＝﹣2ln20，

∴1＜x0＜2，

又∵ax0在（1，+∞）遞增，

故a＜1．