Question

【題目】定義區間,,,的長度均為,其中.

(1)已知函數的定義域為,值域為,寫出區間長度的最大值與最小值.

(2)已知函數的定義域為實數集,滿足 (是的非空真子集).集合, ,求的值域所在區間長度的總和.

(3)定義函數,判斷函數在區間上是否有零點,并求不等式解集區間的長度總和.

Answer 1

【答案】（1）最大值為,最小值為；（2）；（3）方程在區間內有一個解，解集區間的長度總和10

【解析】

（1）利用數形結合求出即可；（2）求出兩區間長度作和即可；（3）根據題意可得方程在區間內各有一個解，依次記這個解為，則可得，

對進行通分處理,分子記為，有，又有，通過上面三個關系式，比較可得出結論.

解:(1),

解得或,

,解得,

畫圖可得:區間長度的最大值為,

最小值為；

(2)

當,,

當,,

所以時,

所以值域區間長度總和為；

(3)由于當時,取,,

取,,

所以方程在區間內有一個解

考慮函數,由于當時,,故在區間內,不存在使的實數;

對于集中的任一個,由于當時,

取,,取,

又因為函數在區間內單調遞減,

所以方程在區間內各有一個解;

依次記這個解為,

從而不等式的解集是,故得所有區間長度的總和為

………①

對進行通分處理,分子記為

如將展開,其最高項系數為,設

②

又有 ③

對比②③中的系數，

，

可得:.