Question

【題目】如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點F為PB中點，點E在邊BC上移動．

（Ⅰ）求證：PD∥平面AFC；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）若二面角的大小為60°，則CE為何值時，三棱錐的體積為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）連接,設,底面是矩形,可知是的中點,利用中位線的性質、直線與平面平行的判定定理，可證出PD∥平面AFC；

（Ⅱ）由，，點F為PB中點，可知, 由PA⊥平面,可得,由四邊形是矩形,可知,這樣可以得到平面,因此可證出,這樣可以證出平面,這樣就可以證明出;

（Ⅲ）建立空間直角坐標系,通過若二面角的大小為60°,可以求出點的坐標,由三棱錐的體積為,可以求出CE的長.

（Ⅰ）連接,設,如下圖所示:

四邊形ABCD是矩形,所以是的中點, F為PB中點,所以有,

而平面,平面,由直線與平面平行的判定定理可知: PD∥平面AFC；

（Ⅱ）由，，所以是等腰三角形,點F為PB中點，所以有, 因為PA⊥平面,而平面,于是有,

因為四邊形是矩形,所以,又平面, 平面,平面,所以,而 ,

所以平面,而平面,所以 ;

（Ⅲ）建立如上圖所示的空間直角坐標系,

設，,

設平面的法向量為,則有

,而PA⊥平面,所以是平面的法向量，所以有，

，設，，

三棱錐的體積為，解得，

所以當時，三棱錐的體積為．