Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程 =a的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5， x≥2時，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；
﹣ ＜x＜2時，2﹣x+2x+1＞5，無解，
x≤﹣ 時，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣ ，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣ ）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|= ，
故f（x）的最小值是 ，所以函數(shù)f（x）的值域為[ ，+∞），
從而f（x）﹣4的取值范圍是[﹣ ，+∞），
進而 的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]∪（0，+∞）．
根據(jù)已知關(guān)于x的方程 =a的解集為空集，所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣ ，0]．
【解析】（Ⅰ）分類討論求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函數(shù)f（x）的解析式可得f（x）的單調(diào)性，由此求得函數(shù)f（x）的值域，求出 的取值范圍．再根據(jù)關(guān)于x的方程 =a的解集為空集，求得實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關(guān)知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．