Question

【題目】f(x)是定義在R上的奇函數，對x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，f(x)<0，f(－1)＝2.

(1)求證：f(x)為奇函數；

(2)求證：f(x)是R上的減函數；

(3)求f(x)在[－2，4]上的最值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）最大值為4，最小值為－8．

【解析】試題分析：抽象函數利用賦值法來幫助解題。（1）奇偶性利用定義證明，賦值，解得，再賦值，得，即證得奇函數；（2）單調性也利用定義證明，結合條件時， ，可證明減函數；（3）由減函數可知， ，再根據條件和奇函數，即可求出最值。

試題解析：

(1) 的定義域為，

令，則， ，

令，則，

， ， 是奇函數.

(2)設，

，

， ， ，即，

在上為減函數.

(3) ，

為奇函數， ，

， 在上為減函數，

.