Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）若函數y=f（x）存在與直線2x﹣y=0垂直的切線，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+ ，若g（x）有極大值點x1 ， 求證： ＞a．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f′（x）= ﹣2a，x＞0， 因為函數y=f（x）存在與直線2x﹣y=0垂直的切線，
所以f′（x）=﹣ 在（0，+∞）上有解，
即 ﹣2a=﹣ 在（0，+∞）上有解，
也即x= 在（0，+∞）上有解，
所以 ＞0，得a＞ ，
故所求實數a的取值范圍是（ ，+∞）；
（Ⅱ）證明：因為g（x）=f（x）+ x2= x2+lnx﹣2ax，
因為g′（x）= ，
①當﹣1≤a≤1時，g（x）單調遞增無極值點，不符合題意，
②當a＞1或a＜﹣1時，令g′（x）=0，設x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2 ，
因為x1為函數g（x）的極大值點，所以0＜x1＜x2 ，
又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，
所以g′（x1）=x12﹣2ax1+ =0，則a= ，
要證明 ＞a，只需要證明x1lnx1+1＞ax12 ，
因為x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣ +1=﹣ ﹣ x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，
令h（x）=﹣ x3﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），
所以h′（x）=﹣ x2﹣ +lnx，記P（x）=﹣ x2﹣ +lnx，x∈（0，1），
則P′（x）=﹣3x+ = ，
當0＜x＜ 時，p′（x）＞0，當 ＜x＜1時，p′（x）＜0，
所以p（x）max=p（ ）=﹣1+ln ＜0，所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上單調遞減，
所以h（x）＞h（1）=0，原題得證
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，問題轉化為x= 在（0，+∞）上有解，求出a的范圍即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通過討論a的范圍，問題轉化為證明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣ ﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），根據函數的單調性證明即可．