Question

【題目】已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在區間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】0＜m＜3+4
【解析】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求導f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1， 又x在[0，2]內，∴函數f（x）在區間（0，1）單調遞減，在區間（1，2）單調遞增，
則f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．
∵在區間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是構成直角三角形，
∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2 ， 即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4 ＜m＜3+4
又已知m＞0，∴0＜m＜3+4 ．
所以答案是：0＜m＜3+4 ．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．