Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= ．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦；
（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

【答案】證明：（I）連接OA，OC，

∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由題設知 ，AC=2，
∴AO2+CO2=AC2 ，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（II）解：取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，

知ME∥AB，OE∥DC，
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．
在△OME中， ，
∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴ ，
∴ ，
∴異面直線AB與CD所成角大小的余弦為
（III）解：設點E到平面ACD的距離為h．

在△ACD中， ，
∴ = ，
∵AO=1， ，
∴ = = ，
∴點E到平面ACD的距離為 ．
【解析】（I）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設知 ，AC=2，故AO2+CO2=AC2 ， 由此能夠證明AO⊥平面BCD．（II）取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中， ，由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦．（III）設點E到平面ACD的距離為h．在△ACD中， ，故 = ，由AO=1，知 ，由此能求出點E到平面ACD的距離．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．