Question

【題目】在如圖所示的多面體中，平面，四邊形為平行四邊形，點分別為的中點，且，，.

（1）求證：平面；

（2）若，求該多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取取的中點為，連，可證，且，所以四邊形是平行四邊形，從而可得，利用線面平行的判定，可得平面；

（2）連接，由四邊形為平行四邊形可知與面積相等，所以三棱錐與三棱錐體積相等，即該多面體的體積為三棱錐體積的二倍，由此根據題意，結合余弦定理，即可求出結果.

（1）證明：取的中點為，連，

∵分別為的中點，

，且，

又四邊形為平行四邊形，，且，

，且

∴四邊形是平行四邊形

即

又平面，平面，

平面；

（2）連接，

由四邊形為平行四邊形可知與面積相等，

所以三棱錐與三棱錐體積相等，

即該多面體的體積為三棱錐體積的二倍．

平面，平面，

，

由，可得，

又，

由余弦定理并整理得 ，

解得，

∴三棱錐的體積

∴該幾何體的體積為.