Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過焦點且垂直于長軸的弦長為.

（1）已知點是橢圓上兩點，點為橢圓的上頂點，的重心恰好是橢圓的右焦點，求所

在直線的斜率；

（2）過橢圓的右焦點作直線，直線與橢圓分別交于點，直線與橢圓分別交于點，

且，求四邊形的面積最小時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的離心率為，過焦點且垂直于長軸的弦長為，列出方程組求出，，由此能求出橢圓方程為，由重心公式得，，由此結合點差法能求出直線的斜率；（2）設，，，，由題意推導出，若直線中有一條斜率不存在，求出四邊形的面積為；若直線，的斜率存在，設直線的方程為，，與橢圓方程聯立，得，由此利用韋達定理、弦長公式求出，同理可求得，由此能求出四邊形的面積的最小值及此時直線的方程．

試題解析：（1）由題意：，，解得，

所求橢圓的方程為.

設，∵，∴，根據題意，，

即，.

由 ①， ②

①②得，

∴.

（2）設，，，，

則由題意：，

即

整理得：，

即，所以.

①若直線中有一條斜率不存在，不妨設的斜率不存在，則軸，

所以，，

故四邊形的面積.

②若直線的斜率存在，設直線的方程為：，

則由，得，

則，，

，

同理可求得，，故四邊形的面積：

（當取“”），

此時，四邊形面積的最小值為，

所以直線方程為：或.