Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，對任意的正整數n，都有Sn＝an＋n－3成立．

(1)求證：存在實數λ使得數列{an＋λ}為等比數列；

(2)求數列{nan}的前n項和Tn.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）先根據和項與通項公式得項之間遞推關系an＝3an－1－2，再構造an－1＝3(an－1－1)，由等比數列定義確定結論，（2）因為數列為等差與等比乘積型，所以利用錯位相減法求數列{nan}的前n項和Tn.

試題解析：(1)證明：因為Sn＝an＋n－3，①

所以當n＝1時，S1＝a1＋1－3，所以a1＝4.

當n≥2時，Sn－1＝an－1＋n－1－3，②

由①②兩式相減得an＝an－an－1＋1，即

an＝3an－1－2(n≥2)．變形得an－1＝3(an－1－1)，而a1－1＝3，

所以數列{an－1}是首項為3，公比為3的等比數列，

所以存在實數λ＝－1，使得數列{an－1}為等比數列．

(2)由(1)得an－1＝3·3n－1＝3n，

所以an＝3n＋1，nan＝n·3n＋n，所以Tn＝(1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋3＋…＋n)，

令Vn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③

則3Vn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④

由③④兩式相減得

－2Vn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1＝·3n＋1－，

所以Vn＝·3n＋1＋，

Tn＝·3n＋1＋＋.