Question

【題目】已知數列{an}，{bn}均為各項都不相等的數列，Sn為{an}的前n項和，an+1bn=Sn+1（n∈N）．
（1）若a1=1，bn= ，求a4的值；
（2）若{an}是公比為q的等比數列，求證：存在實數λ，使得{bn+λ}為等比數列；
（3）若{an}的各項都不為零，{bn}是公差為d的等差數列，求證：a2 ， a3 ， …，an…成等差數列的充要條件是d= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1bn=Sn+1，a1=1，bn= ，

∴a2= = =4，

a3= = =6，

a4= = =8

（2）證明：設an=a1qn﹣1（q≠1），則Sn= ，

∵an+1bn=Sn+1，

∴bn= = ，

∵ = = 為常數，

∴﹣1+λ﹣λq=0，即λ= ，

故存在實數λ= ，使得{bn+λ}為等比數列

（3）證明：∵數列{bn}是公差為d的等差數列，

∴當n≥2時，an+1bn﹣an（bn﹣d）=an，

即（an+1﹣an）bn=（1﹣d）an，

∵數列{an}的各項都不為零，

∴an+1﹣an≠0，1﹣d≠0，

∴當n≥2時， = ，

當n≥3時， = ，

兩式相減得：當n≥3時， ﹣ = = ．

先證充分性：

由d= 可知 ﹣ =1，

∴當n≥3時， +1= ，

又∵an≠0，

∴an+1﹣an=an﹣an﹣1，

即a2，a3，…，an…成等差數列；

再證必要性：

∵a2，a3，…，an…成等差數列，

∴當n≥3時，an+1﹣an=an﹣an﹣1，

∴ ﹣ = ﹣ =1= ，

∴d= ．

綜上所述，a2，a3，…，an…成等差數列的充要條件是d=

【解析】（1）直接代入計算即可；（2）通過設an=a1qn﹣1（q≠1），利用等比數列的求和公式及an+1bn=Sn+1，計算可知bn= ，進而化簡即得結論；（3）通過數列{bn}是公差為d的等差數列，對an+1bn﹣an（bn﹣d）=an變形可知 = （n≥2）、 = （n≥3），從而 ﹣ = （n≥3），然后分別證明充分性、必要性即可．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握通項公式：；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．