Question

【題目】數列是首項與公比均為的等比數列（，且），數列滿足．

（1）求數列的前項和；

（2）若對一切都有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）先求出數列的通項公式，從而可得，利用錯位相減法求解即可；（2）由得，討論時， 時兩種情況，分別分離參數，求出的最值，即可求的取值范圍.

試題解析：（1）∵數列是首項為，公比為的等比數列．

∴．

從而，∴ ．

設，則，

∴ ，

∴，∴．

（2）由得．

①當時， ，可得，

∵， ，

∴對一切都成立，此時的解為；

②當時， ，可得，

∵， ，

∴對一切都成立時．

由①，②可知，對一切都有的的取值范圍是或．

【易錯點晴】本題主要考察等差數列的通項公式、等比數列的求和公式、“錯位相減法”求數列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯位相減法”求數列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項 的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.