Question

【題目】已知函數.

（I）討論函數的單調性；

（II）若存在兩個極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）見解析

【解析】

（I），討論k,確定的正負即可求其單調性；（II）由（I）存在兩個極值點，，得，且，整理，證明 ，即可得解

（I）由題意得，函數的定義域為，.

當時，在上恒成立，則在上單調遞增；

當時，若，即時，在上恒成立，

則在上單調遞增；若，即時，

令，解得 ，

令，解得或，令，解得，

在和上單調遞增，

在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞增；

當時，在和上單調遞增，

在上單調遞減.

（II）由（I）得，若存在兩個極值點，，則，且，

則 .

下面先證明：設，則，

易得在上單調遞增，在上單調遞減，

， ，即.

，

又由（I）得在區間上單調遞減，.