Question

【題目】設函數.

（1）試討論函數的單調性；

（2）若，證明：方程有且僅有3個不同的實數根.（附：，，）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先對函數求導，分類討論和兩種情況，即可得出結果；

（2）將代入函數解析式，得到，根據(1)中結果，得到函數單調性，求出函數極值，即可得出結果.

解：（1）由，

得，

令，

所以，

所以當時，，恒成立，

即恒成立，

所以單調遞增；

當時，，此時方程有兩個不相等的根，，不妨設，

令 ，

所以，，

所以當時，，

即，所以單調遞增；

當時，，

即，所以單調遞減；

當時，，

即，所以單調遞增.

綜上，當時，在上單調遞增；

當時，的單調遞增區間為，；的單調遞減區間為.

（2）當時，，

由（1）知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以當時，函數有極大值，且 ，

當時，函數有極小值，

且 .

又因為，，

所以直線與函數的圖象在區間上有且僅有3個交點，

所以當時，方程有且僅有3個不同的實數根.