Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由橢圓離心率可得a，b的關(guān)系，依題意設(shè)橢圓方程為：，把點(diǎn)（4，1）代入求得b值，則橢圓方程可求；

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式大于0列式求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

（1）由橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，得，

即，∴a2＝4b2，依題意設(shè)橢圓方程為：，

把點(diǎn)（4，1）代入得b2＝5，∴橢圓方程為；

（2）因?yàn)橹本�交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.

聯(lián)立，得5x2+8mx+4m2﹣20＝0．

由△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝400﹣16m2＞0，解得﹣5＜m＜5．

∴m的取值范圍是（﹣5，5）．