Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）求證：當時，存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的方程，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，

從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）根據f（x）的最小值是f（）=，存在x0，使得f（x0）

＜1f（）＜1，由f（）﹣1=，設g（x）=lnx﹣x，根據函數的單調性證明即可．

（Ⅰ）函數的定義域為，且。

因為

令，得到，

當m>0時，x變化時，，的變化情況如下表：

x
	-	0	-
	↘	極小值	↗

所以函數在處取得極小值

當m<0時，x變化時，，的變化情況表如下：

x
	+	0	-
	↗	極大值	↘

所以函數在處取得極大值

（Ⅱ）當m>0時，由（Ⅰ）可知，的最小值是，所以“存在，使得

等價于“”

所以.

設

則

當0<x<1時，，單調遞增

當1<x時，，單調遞減

所以的最大值為，所以，所以結論成立.