Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，且．

（1）求的值；

（2）若為拋物線上異于的兩點，且．記點到直線的距離分別為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）利用拋物線的定義求p的值.(2)先求出a的值，再聯立直線的方程和拋物線的方程得到韋達定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.

詳解：（1）因為點A(1，a) (a＞0)是拋物線C上一點，且AF=2，

所以＋1＝2，所以p＝2.

（2）由(1)得拋物線方程為y2＝4x．

因為點A(1，a) (a＞0)是拋物線C上一點，所以a＝2．

設直線AM方程為x－1＝m (y－2) (m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由消去x，得y2－4m y＋8m－4＝0，

即(y－2)( y－4m＋2)＝0，所以y1＝4m－2．

因為AM⊥AN，所以－代m，得y2＝－－2，

所以d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|＝|4m×(－)|＝16．