Question

【題目】若動點到定點與定直線的距離之和為4.

(1)求點的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖.

(2)記(1)得到的軌跡為曲線，若曲線上恰有三對不同的點關于點對稱，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)，見解析 ；(2).

【解析】

(1)設,由題意,分類討論后可得點的軌跡方程，并可畫出方程的曲線草圖.

(2)考慮方程組在 有兩組不同解后可得的取值范圍.

(1)設,由題意，

①當時，有，化簡得：.

②當時，有，化簡得：.

綜上所述：點M的軌跡方程為，曲線如圖所示.

(2)若,則，

所以曲線關于軸對稱，所以一定存在關于軸對稱的對稱點，

設是軌跡上一點，則,

它關于的對稱點為，由于點Q在軌跡上，

所以，

聯立方程組(*)得，

化簡得,，

當時,，此時方程組(*)有兩解,即增加有兩組對稱點，

所以t的取值范圍是.