Question

已知f（x）=x-

a

x

（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直線y=2x-2與曲線y=g（x）相切．
（1）若對[1，+∞）內的一切實數x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，求最大的正整數k，使得任意k個實數x₁，x₂，…，x_k∈[e，3]（e=2.71828…是自然對數的底數）都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數與方程的綜合運用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）若對[1，+∞）內的一切實數x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，轉化為a≤x²-2xlnx，恒成立，利用導數即可求實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，求函數的導數，研究函數的最值，即可證明不等式．

解答： 解：（1）設點（m，n）為直線y=2x-2與曲線y=g（x）的切點，則有
2lnm+bm=2m-2．      （*）
∵g′（x）=

2

x

+b，∴

2

m

+b=2．   （**）
由（*）、（**）兩式，解得b=0，g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

a

x

≤x-2lnx，
∵x≥1，
∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必須a≤x²-2xlnx，恒成立．  
設h（x）=x²-2xlnx，h′（x）=2x-2lnx-2，
∵h″（x）=2-

2

x

，∴當x≥1時，h″（x）≥0，則h′（x）是增函數，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函數，h（x）≥h（1）=0，a≤1．
因此，實數a的取值范圍是0＜a≤1．
（2）當a=1時，f（x）=x-

1

x

，
∵f′（x）=1+

1

x2

＞0，
∴f（x）在[e，3]（上是增函數，f（x）在[e，3]上的最大值為f（3）=

8

3

．
要對[e，3]內的任意k個實數x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
∵當x₁=x₂=…=x_k-1=3時，不等式左邊取得最大值，x_k=e時不等式右邊取得最小值．
∴（k-1）×

8

3

≤16×2，
解得k≤13．因此，k的最大值為13．

點評：本題主要考查不等式恒成立以及不等式的證明，利用參數分離法轉化為參數恒成立問題，利用導數的應用是解決本題的關鍵．