Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

3

2

，長軸長為4，圓O：x²+y²=1（O為原點），直線l：y=kx+m是圓O的一條切線，且直線l與橢圓M交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積取最大值時直線l的斜率k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率以及長軸、短軸、焦距的關系，求出a，b，即可求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）利用直線與圓相切，推出mk的關系，聯立直線與橢圓方程，求出|AB|，表示△AOB的面積，利用基本不等式求出取最大值時，直線l的斜率k的值．

解答： 解：（Ⅰ）離心率為

3

2

，長軸長為4，所以

c

a

=

3

2

，a=2
∴c=

3

∴b²=a²-c²=1，
∴

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由圓O：x²+y²=1（O為原點），直線l：y=kx+m是圓O的一條切線，

|m|

k2+1

=1，可得m²=1+k²，
由

x2+4y2-4=0 y=kx+m

，代入得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由于：△=48k²＞0恒成立，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則：

x1+x2= -8km 1+4k2 x1•x2= 4m2-4 1+4k2 = 4k2 1+4k2

，
|AB|=

1+k2

•

( 8km 1+4k2 )2- 16k2 1+4k2

=

48k2(1+k2) (1+4k2)2

，
S=

1

2

×1×

48k2(1+k2) (1+4k2)2

=2

3k2(1+k2) (1+4k2)2

≤2

( 3k2+1+k2 2 )2 (1+4k2)2

=1
當且僅當3k²=1+k²即k2=

1

2

時取等；此時，直線斜率k=±

2

2

．

點評：本題可操作性與圓錐曲線的綜合應用，直線與圓的位置關系，橢圓方程的求法，基本不等式的應用，綜合性比較強，計算量大，考查分析問題解決問題的能力．