Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A，B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先設A、B的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），因為線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x₀，0），所以AB不平行于y軸，即x₁≠x₂；然后根據交點為P（x₀，0），故|PA|=|PB|，把點P坐標代入，同時把A、B代入橢圓方程，最后聯立方程，可得x₀關于x₁和x₂的關系式，最后根據x₁和x₂的范圍確定x₀的取值范圍即可．

解答： 解：設A、B的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
因為線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x₀，0），
所以AB不平行于y軸，
即x₁≠x₂；
又因為交點為P（x₀，0），
故|PA|=|PB|，
即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²…①；
∵A、B在橢圓上，
∴y12=b2-

b2

a2

x12，y22=b2-

b2

a2

x22…②，
②代入①，可得
2（x₂-x₁）x₀=(x22-x12)

a2-b2

a2

，
∵x₁≠x₂，可得x0=

x1+x2

2

•

a2-b2

a2

，
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，
∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴-

a2-b2

a

＜x0＜

a2-b2

a

，
即x₀的取值范圍為（-

a2-b2

a

，

a2-b2

a

）．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及其性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，垂直平分線的性質的運用，屬于中檔題．