Question

（本題14分）一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是。
（Ⅰ）若袋中共有10個球，
（i）求白球的個數；
（ii）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為，求隨機變量的數學期望。
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于。并指出袋中哪種顏色的球個數最少。

Answer 1

（Ⅰ）（i）5
（ii）
（Ⅱ）證明見解析。

本題主要考查排列組合、對立事件、相互獨立事件的概率和隨機變量分布列和數學期望等概念，同時考查學生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力．滿分14分。
（Ⅰ）解：（i）記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件A，
設袋中白球的個數為，則，
得到，故白球有5個。
（ii）隨機變量的取值為0，1，2，3，分布列是

	0	1	2	3

的數學期望
。
（Ⅱ）證明：設袋中有個球，其中個黑球，由題意得，
所以，，故。
記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，則
。
所以白球的個數比黑球多，白球個數多于，紅球的個數少于。
故袋中紅球個數最少。