Question

【題目】設為實數，函數.

（1）求證： 不是上的奇函數；

（2）若是上的單調函數，求實數的值；

（3）若函數在區間上恰有3個不同的零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由無解，即可得結論；（2）分三種情況討論，結合二次函數的圖像及單調性，排除不合題意的值即可.（3）三種情況分別結合函數單調性判斷出函數零點個數，即可得出結果.

試題解析：（1）假設是上的奇函數，

則對任意的，都有 （*）

取，得，即，解得，

此時，所以，從而，

這與（*）矛盾，所以假設不成立，所以不是上的奇函數；

（2），

①當時，對稱軸，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，不符；

②當時，對稱軸，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，不符；

③當時，對稱軸，所以在上單調遞減，在上單調遞減，所以是上的單調減函數．

綜上， ．

（3）①當時，由（2）知， 是上的單調減函數，至多1個零點，不符；

②當時，由（2）知， ，所以在上單調遞減，

所以在上至多1個零點，不符；

③當時，由（2）知， ，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．

因為在區間上恰有3個零點，

所以，

，解得或，又，故，綜上，實數的取值范圍是．